4.3 Series De Potencias

Las series infinitas que se han estudiado hasta este momento han sido solo terminos constantes. Ahora se trata un tipo importante de terminos variables denominadas SERIES POTENCIALES las cuales pueden considerarse como una generalizacion de una funcion 

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes  son los términos de una sucesión

En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.

¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.

Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x " (−1,1) (con suma 1 1−x , como sabemos).

b) La serie ∞Σ n=1 xn n converge si y solo si x " [−1,1). Si x " (−1,1), converge absolutamente.
c) La serie ∞Σ n= xn n2 converge (absolutamente) si y solo si x " [−1,1].
d) La serie ∞Σ n=1(−1)nx2nn converge si y solo si x " [−1,1]. Si x " (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie∞Σn=0xnn!converge (absolutamente) para todo x " R (y la suma es ex).
f) La serie∞Σn=0n!xn converge solamente para x = 0. Si para algún r " (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x " R tal que |x−c| < r la serie ∞Σ n=0 an(x−c)n es absolutamente convergente.