El conjunto de convergencia de una serie de
potencias
Es un intervalo de uno de los siguientes
tipos
(i) El unico punto x=0
(ii) Un intervalo (-R,R) incluyendo posiblemente a
uno o ambos extremos
(iii) Toda la recta real
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0} a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0.
Si nos
limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}
a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de
potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de
valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real
llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para
los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la
convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el
intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la
serie converge solo para x0, r = 0.
[editar] Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de
potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es
r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia
al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25,
\sum_{n=0}^\infty
0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede
hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un
elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más
probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de
radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty
2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.
Si nos
limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}
a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de
potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de
valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real
llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para
los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la
convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el
intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la
serie converge solo para x0, r = 0.
Ejemplo:
Mostraremos
el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus
respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de
convergencia es el dado.
[editar] Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25,
[editar] Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25,
entonces al remplazarlo en la serie el
resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de
hecho
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.
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